сотрудник
Красноярск, Красноярский край, Россия
В работе рассмотрены три нелинейных явления, исследуемых в рамках теории катастроф, два из которых присутствуют в практике перевозок и относятся к техническим сторонам его логистики – зависимости от скорости движения силы тяги корабельного движителя и величины Сх. Показано их соответствие катастрофам складки и сборки.
неустойчивость, гребной винт, параль, турбина, упор, треугольники скоростей, нелинейные явления, катастрофа складки, катастрофа сборки
Введение и постановка проблемы
Изучение проблемы нелинейных физических явлений на флоте, обусловленное вопросами логистики, ряд из которых был уже исследован раннее [3; 4], наиболее оптимальным образом начать не с ее формализма, что впереди, а с анонса классической фразы известного физика Филипса Ричарда Фейнмана: «Одинаковые уравнения – одинаковые решения», которую он раскрывает в монографии [12].
Не приводя всех аспектов объяснения, кратко ограничимся лишь следующим – широкий круг явлений природы описывается одними и теми же математическими конструкциями.
Несмотря на обширный список явлений природной неустойчивости, имеющих нелинейную природу, на флоте, включая, как практику мореплавания, так и другие стороны флотской действительности, попадающих под формальный образ теории катастроф (ТК) и ее объекта исследований [11] – катастрофы сборки, которой описывается остойчивость корабля, в данной работе будут рассмотрены только два феномена:
1. Классическая зависимость коэффициента сопротивления воды движению судна;
2. Параль гребного винта (ГВ), показывающая наличия у него предела скорости.
В работе [4] получено аналитическое выражение для зависимости упора от скорости движения судна Vp или от относительной поступи lр, представляющей собой отношение Vp к окружной скорости ГВ pDn [8], графический образ которого совпадает с классическим результатом [5] (рис. 1).
Рисунок 1. Соответствие показателей катера «Ярославец» из [7] классической зависимости упора от относительной поступи lр [4]
Figure 1. The correspondence of the indicators of the boat "Yaroslavets" from [7] the classical dependence of the stop on the relative gait of lр [4]
Это дает возможность для проведения строгого количественного анализа работы ГВ, что составляет цель данного исследования.
Материалы и методы
В качестве экспериментальной базы используется прогон моделей в бассейне. К числу методов относятся результаты исследований по судовым движителям, гидромеханике, теории катастроф.
Результаты исследования
Перейдем к анализу особенностей зависимости величины Сх от скорости движения тела (рис. 2). Рисунок 2.б получен из рисунка 2.а путем поворота против часовой стрелки ~ 40o. По оси ОХ указаны те же значения числа Рейнольдса. Здесь отчетливо видно соответствие рассматриваемой зависимости катастрофе сборки (рис. 8.б). Здесь обычно [1; 9] рассматривают только интервал 102 – 3x105, утверждая при этом «независимость Сх от Rе» и принимая при этом Сх = 1 для поперечного обтекания цилиндра (сваи) и Сх = 0.4 для шара, точнее горизонтално расположенной полусферы – крайне отдаленного подобия судна.
Последнее время в закризисной области Re ³ 106 для цилиндра, в качестве оценки Сх, при поперечном обтекании свай, рекомендуется величина 0.7. Этого может быть и достаточно для порядковых теоретических исследований, но совершенно не приемлемо для оптимизации перевозок, когда необходимо иметь более детальный вид формальной зависимости силы сопротивления Fex от скорости.
Для этой цели воспользуемся формальным выражением Сх (1), которое аппроксимируется полиномом, начиная с 4-го порядка от Re -P4(Re)
Сх = Fex/[1/2rSV2] = P4(Re) = aV4 + bV2 + cV + d (1)
Fex = r/2 [aV4 + bV2 + cV + d] [SV2] = k(aV6 + bV4 + cV3 + dV2),
k = rS/2,
где V, L или S, n, r – скорость движения тела, «характерный размер» тела – длина или площадь поперечного сечения, вязкость и плотность среды.
Рассмотрим рисунок 2. Рисунок 2.б получен из рисунка 2.а, путем поворота против часовой стрелки ~40o. По оси ОХ указаны те же значения числа Рейнольдса. Здесь отчетливо видно соответствие рассматриваемой зависимости катастрофе сборки (рис. 8.б).
Рисунок 2. Зависимость коэффициента сопротивления воды движению тела от числа Рейнольдса [13]
Figure 2. Dependence of the coefficient of water resistance to body movement on the Reynolds number [13]
Перейдем к анализу особенностей зависимости работы ГВ. Особенности его работы показаны в [8], где говорится, что, при взаимодействии ГВ с потоком окружающей его жидкости, набегающей или уходящей, существуют всего три состояния ГВ:
Крайние два, когда он работает как один из видов технического устройства – движитель, среда получает ускорение за счет приема энергии от ГВ (рис. 1) и турбины – ГВ получает энергию среды;
Промежуточное состояние парли или, по терминологии Ф.А. Брикса [2], винт парализован, ибо он не может работать, ни как движитель, ни как турбина – «он толчет воду».
В более детализированном виде здесь наблюдается следующая картина динамики:
1. Пока lр меньше поступи нулевого упора, ГВ работает как движитель;
2. Когда lр больше поступи нулевого упора, но меньше поступи нулевого момента, – промежуточное состояние из п.2 верхнего списка;
3. Когда lр больше поступи нулевого момента, ГВ работает как турбина. Причем, здесь наблюдаются следующие контринтуитивные аспекты:
4. Вопреки ожиданиям, при росте скорости или lр, упор падает;
5. Дальнейшее увеличение lр приводит вообще к неопределенному состоянию;
6. Последующее за п.2. увеличение lр приводит уже к конкретным результатам.
Отмеченная бистабильность ГВ, в виде различных технических устройств, входит в широкий класс явлений и процессов, которые являются объектами изучения теории катастроф или теории особенностей дифференцируемых отображений, восходящей еще к А. Пуанкаре.
Теория катастроф в современном понимании имеет своей целью вовсе не прикладное построение экзотических геометрических образов и привязки их к тем или иным жизненным процессам, что, впрочем, имеет не только несомненный познавательный аспект, но также и дает вектор направления исследований.
Например, для иллюстрации с помощью геометрического образа поверхности, перевернутой на 90о, катастрофы складки того факта, что для достижения высоких успехов одной увлеченности недостаточно, необходим и определенный талант (рис. 3).
Рисунок 3. Интерпретация психологических феноменов в рамках теории катастроф [11]
Figure 3. Interpretation of psychological phenomena within the framework of catastrophe theory [11]
Реальной целью теории катастроф является нечто совсем иное – детерминация и анализ необходимого и достаточного образа тех энергетических поверхностей – потенциалов, которые определяют динамику ряда исследуемых практических процессов, где движение может идти только так и не иначе.
Однако, если для ГВ имеется формальное выражение зависимости упора от относительной поступи lр [4], то для описания психологического перехода оно практически отсутствует, в силу значительно большой сложности объекта. Поэтому, сходство или различие рассмотренных объектов более подробно изучим на примере физического и математического маятников. Но, прежде всего, четко определим их свойства. Положение дел здесь заключается в том, что внешне один и тот же объект исследования называется двумя наименованиями – физическим или математическим маятником, т.е. более простой объект – шарик на нити или на тонком невесомом стержне без момента инерции изучался в курсе общей физики, а более сложный, представляющий объемное тело уже с достаточным моментом инерции – в более поздних курсах теоретической механики или вариационного исчисления (рис. 4).
Формально и феноменологически физический и математический маятники различаются лишь структурой потенциала (потенциальной энергии), определяющего особенности их динамики: для простого физического это функция 1/2х2; сложного математического – например, cos(x) (рис. 5).
Дальнейшие различия в динамике физического и математического маятников заключаются в том, что физический, при всех значениях потенциальной энергии, имеет лишь одно положение равновесия в точке х = 0, математический уже обладает значительно сложной картиной динамики (рис. 5). Кроме того, что здесь имеется несколько положений, расположенных через период, имеется еще одна траектория динамики – удаление в бесконечность, которое реализуется при очень высоких значениях энергии, вращаясь вокруг точки подвеса, как спутник вокруг своей планеты.
Рисунок 4. Иллюстрация физического и математического маятников
Figure 4. Illustration of physical and mathematical pendulums
Изучив ряд необходимых формальных и феноменологических особенностей классических объектов динамики, перейдем к исследованию упора гребного винта. Как уже сказано выше, в работе [4] приводится формальное выражение и графические иллюстрации для упора гребного винта. Однако там главным аспектом исследования была степень аппроксимации реальным опытным данным. Ниже будет исследована общая картина зависимости упора гребного винта от скорости движения судна или относительной поступи lр, которая определяет угол атаки набегающего потока.
С этой целью вернемся к описанию особенностей работы ГВ, в зависимости от lр. На рисунке 6.a, заимствованном из [8], показан многоугольник скоростей и сил на плане лопасти винта, которая является практическим аналогом крыла самолета.
Рисунок 5. Фазовые портреты физического и математического маятников
Figure 5. Phase portraits of physical and mathematical pendulums
Кроме того, сравнение рисунка 6.б и рисунка 6.д, заимствованном из [10], показывает тот факт, что, как ГВ при низких величинах lр, так решетка из крыльев на стадии взлета имеют близкое направление углов атаки.
Рисунок 6. Многоугольник скоростей и сил на плане лопасти винта (а), иллюстрация угла атаки при различных скоростях движения Vp (б)
Figure 6. Polygon of velocities and forces on the plane of the propeller blade (a), illustration of the angle of attack at different speeds Vp (b)
Согласно уравнению Бернулли, отражающего закон сохранения полной энергии, упор или подъемная сила помноженная на сos(b) [8] создается в виде разности давлений на верхней и нижней сторонах лопасти, которая равна разности динамических напоров или кинетической энергии потоков омывающих лопасть (2):
P = 1/2r[V2u – V2d], (2)
где Vu, Vd – скорости потоков на верхней и нижней сторонах лопасти, соответственно.
Ввиду того, что расход среды также одинаков с обоих сторон лопасти, то скорости V*, как с той, так и с другой стороны пропорциональны длинам соответствующих сторон. Тогда выражение (2) предстает с следующем виде (3)
P = 1/2r[L2u – L2d], (3)
где Lu, Ld – длины верхней и нижней сторон лопасти, соответственно, r – плотность воды.
В соответствии с (3) видно, что нулевой упор наблюдается при равенстве Lu, = Ld, что показано в ряде случаев на рисунке 7, из которого видна четкая периодика нулевого упора, подобная тригонометрической окружности – в обоих случаях имеется 4 варианта.
Исходя из (3) и рисунка 7.д, где лопасть представлена в виде сегмента окружности с хордой R, и стороны Lu и Ld вычисляются в виде (4),
Lu = R(A - sin(x)), Ld = R(1 + sin(x)) (4)
x = ao + j - b , (рис. 5)
легко представить упор в виде (5), которое при условных величинах А = 1.5 и R = 1 показано красной кривой на рисунке 8.а.
2rP = (AR - Rsin(x))2 – (R + Rsin(x))2 = [R(A + 1)] 2sin(x) (5)
Аналогичное выражение для зависимости подъемной силы от угла атаки, представимое также в виде sin(x), при A = R = 1 приводится в работе [10]. Здесь также видна эквивалентность содержимого рисунка 5.б и рисунка 8.а – аналогичная последовательность потенциальных ям.
Имея графический образ упора, продолжим содержательный анализ. Вернемся к описанию вариантов работы ГВ. Здесь принципиальным является тот факт, что, в зависимости от величины lр, ГВ меняет характер взаимодействия с потоком – при малых он передает энергию, а при больших – принимает.
Рисунок 7. Случаи расположения осей нулевой подъемной силы гребного винта – а) + г) и схема циркуляции – д)
Figure 7. Cases of the arrangement of the axes of the zero lifting force of the propeller – a) + d) and the circulation scheme – e)
Для отражения этого факта используем основной аппарат теории катастроф – выделение главной части явления путем разложения его формального выражения (5) в ряд. Тогда получим (6) – полином 3-го порядка, что показано зеленой кривой на рисунке 8.а, представляющей собой первую элементарную катастрофу складки [11]. Здесь отчетливо видно, что на левом конце функция уходит вниз, а на правом – вверх, отражая разный характер взаимодействия ГВ с потоком.
2rP = (A2– 1)R2 – 2(A + 1)R2x + 1/3(A + 1)R2x3 (6)
Получив представление о формальной природе упора ГВ, исследуем феноменологию тех устройств, которые он представляет при различных величинах относительной поступи lр. Для этого воспользуемся стандартным приемом аналитической механики [6], где сила представляется в виде производной по Х от потенциальной энергии тела V, которую в этом случае можно представить в виде интеграла по Х от выражений (5) и (6).
Тогда получим для (5) и (6) выражения для потенциалов (7) и (8) – катастрофа сборки, соответственно, графические образы которых показаны на рисунке 8.б аналогичными цветами. Из данной иллюстации видно, что миниум в левой части соответствует работе ГВ, как движителя, а в правой – как турбины. Промежуточный максимум в принулевой области – стадии «толчеи воды».
2rV = (A2 – 1)R2x + 2(A + 1)R2cos(x) (7)
2rV = (A2– 1)R2х – (A + 1)R2x2 + 1/12(A + 1)R2x4 (7)
Рисунок 8. Иллюстрация упора (а) и потенциала ГВ
Figure 8. Illustration of the stop (a) and the GW potential
Выводы
Анализ вышеизложенного материала показывает феномен непропорциональности усилий и ожидаемого результата. Действительно, увеличение угла (4) показывает наличие предела скорости у ГВ, что обуславливает использование других типов двигателей.
Здесь стоит заметить факт – на практике работы ГВ наблюдаема только стадия движителя, ибо переход относительной поступи lр через величину нулевого упора сначала маскируется инерцией и далее – реальным падением скорости движения судна.
Наблюдение всех режимов возможно, как правило, либо при буксировке судна, либо на швартовых при работе нагнетателя.
1. Алферьев М.Я. Ходкость и управляемость судов. Сопротивление воды движению судов - М.: Транспорт, 1967 - 344 с
2. Брикс Ф.А. Паральная теория гребного винта - Петроград: Гос. изд-во, 1922. - 2-е изд., с изм. и доп. - 232 с
3. Гайденок Н.Д. Определение коэффициента сопротивления тралов гидравлико-математическим методом // Рыбное хозяйство. - 2021. - № 2. - С 70-76. DOIhttps://doi.org/10.37663/0131-6184-2021-2-90-98
4. Гайденок Н.Д. Об использовании геометрии и механических особенностей в алгоритме расчета упора гребных винтов корабельных движителей // Рыбное хозяйство. - 2021. - № 4. - С 70-76.
5. Дорогостайский Д.В. Теория и устройство судна / Д.В. Дорогостайский, М.М. Жученко, Н.Я. Мальцев - Л.: Судостроение, 1976. - 416 с.
6. Заславский Г.М. введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса / Г.М. Заславский, Р.З. Сагдеев - М.: Наука, 1988. - 308 с.
7. Катер «Ярославец» http://russrivership.ru/public/files/doc1130.pdf
8. Лаврентьев В.М. Судовые движетели. - Ленинград-Москва: Морской транспорт, 1949. - 276 с.
9. Ландау Л.Д. Теоретическая физика, Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - М.: Наука, 2001, т. 6 - 540 с.
10. Лойциянский Л.Г. Механика жидкости и газа - М.: Наука, 1975. - 548 с.
11. Постон Г. Теория катастроф и ее приложения//пер. с англ. / Г. Постон, И. Стюарт - М.: Мир, 1980 - 608 с.
12. Фейнман Р. Фейнмановские лекции по физике. Электричество и магнетизм / Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс / пер. с англ. - М.: Мир, 1980, т.5. - 608 с.
13. Фейнман Р. Фейнмановские лекции по физике. Физика сплошных сред / Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс / пер. с англ. - М.: Мир, 1980, т.7. - 300 с.
